☰

Скачать как решать примеры на бинарные отношения. Бинарные отношения — MT1102: Линейная алгебра (введение в математику) — Бизнес-информатика

Определение . Бинарным отношением R называется подмножество пар (a,b)∈R декартова произведения A×B, т. е. R⊆A×B . При этом множество A называют областью определения отношения R, множество B – областью значений.

Обозначение: aRb (т. е. a и b находятся в отношении R). /

Замечание : если A = B , то говорят, что R есть отношение на множестве A .

Способы задания бинарных отношений

1. Списком (перечислением пар), для которых это отношение выполняется.

2. Матрицей. Бинарному отношению R ∈ A × A , где A = (a 1 , a 2 ,..., a n), соответствует квадратная матрица порядка n , в которой элемент c ij , стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца, равен 1, если между a i и a j имеет место отношение R , или 0, если оно отсутствует:

Свойства отношений

Пусть R – отношение на множестве A, R ∈ A×A . Тогда отношение R:

    рефлексивно, если Ɐ a ∈ A: a R a (главная диагональ матрицы рефлексивного отношения содержит только единицы);

    антирефлексивно, если Ɐ a ∈ A: a R a (главная диагональ матрицы рефле сивного отношения содержит только нули);

    симметрично, если Ɐ a , b ∈ A: a R b ⇒ b R a (матрица такого отношения симметрична относительно главной диагонали, т.е. c ij c ji);

    антисимметрично, если Ɐ a, b ∈ A: a R b & b R a ⇒ a = b (в матрице такого отношения отсутствуют единицы, симметричные относительно главной диагонали);

    транзитивно, если Ɐ a, b, c ∈ A: a R b & b R c ⇒ a R c (в матрице такого отношения должно выполняться условие: если в i-й строке стоит единица, например в j-ой координате (столбце) строки, т. е. c ij = 1 , то всем единицам в j-ой строке (пусть этим единицам соответствуют k е координаты такие, что, c jk = 1) должны соответствовать единицы в i-й строке в тех же k-х координатах, т. е. c ik = 1 (и, может быть, ещё и в других координатах).

Задача 3.1. Определите свойства отношения R – «быть делителем», заданного на множестве натуральных чисел.

Решение.

отношение R = {(a,b):a делитель b}:

    рефлексивно, не антирефлексивно, так как любое число делит само себя без остатка: a/a = 1 для всех a∈N ;

    не симметрично, антисимметрично, например, 2 делитель 4, но 4 не является делителем 2;

    транзитивно,таккакесли b/a ∈ N и c/b ∈ N, то c/a = b/a ⋅ c/b ∈ N, например, если 6/3 = 2∈N и 18/6 = 3∈N, то 18/3 = 18/6⋅6/3 = 6∈N.

Задача 3.2. Определите свойства отношения R – «быть братом», заданного на множестве людей.
Решение.

Отношение R = {(a,b):a - брат b}:

    не рефлексивно, антирефлексивно из-за очевидного отсутствия aRa для всех a;

    не симметрично, так как в общем случае между братом a и сестрой b имеет место aRb , но не bRa ;

    не антисимметрично, так как если a и b –братья, то aRb и bRa, но a≠b;

    транзитивно, если называть братьями людей, имеющих общих родителей (отца и мать).

Задача 3.3. Определите свойства отношения R – «быть начальником», заданного на множестве элементов структуры

Решение.

Отношение R = {(a,b) : a - начальник b}:

  • не рефлексивно, антирефлексивно, если в конкретной интерпретации не имеет смысла;
  • не симметрично, антисимметрично, так как для всех a≠b не выполняется одновременно aRb и bRa;
  • транзитивно, так как если a начальник b и b начальник c , то a начальник c .

Определите свойства отношения R i , заданного на множестве M i матрицей, если:

  1. R 1 «иметь один и тот же остаток от деления на 5»; M 1 множество натуральных чисел.
  2. R 2 «быть равным»; M 2 множество натуральных чисел.
  3. R 3 «жить в одном городе»; M 3 множество людей.
  4. R 4 «быть знакомым»; M 4 множество людей.
  5. R 5 {(a,b):(a-b) - чётное; M 5 множество чисел {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
  6. R 6 {(a,b):(a+b) - чётное; M 6 множество чисел {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
  7. R 7 {(a,b):(a+1) - делитель (a+b)} ; M 7 - множество {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
  8. R 8 {(a,b):a - делитель (a+b),a≠1}; M 8 - множество натуральных чисел.
  9. R 9 «быть сестрой»; M 9 - множество людей.
  10. R 10 «быть дочерью»; M 10 - множество людей.

Операции над бинарными отношениями

Пусть R 1 , R 1 есть отношения, заданные на множестве A .

    объединение R 1 ∪ R 2: R 1 ∪ R 2 = {(a,b) : (a,b) ∈ R 1 или (a,b) ∈ R 2 } ;

    пересечение R 1 ∩ R 2: R 1 ∩ R 2 = {(a,b) : (a,b) ∈ R 1 и (a,b) ∈ R 2 } ;

    разность R 1 \ R 2: R 1 \ R 2 = {(a,b) : (a,b) ∈ R 1 и (a,b) ∉ R 2 } ;

    универсальное отношение U: = {(a;b)/a ∈ A & b ∈ A}. ;

    дополнение R 1 U \ R 1 , где U = A × A;

    тождественное отношение I: = {(a;a) / a ∈ A};

    обратное отношение R -11 : R -11 = {(a,b) : (b,a) ∈ R 1 };

    композиция R 1 º R 2: R 1 º R 2: = {(a,b) / a ∈ A&b ∈ B& ∃ c ∈ C: aR 1 c & c R 2 b}, где R 1 ⊂ A × C и R 2 ⊂ C × B;

Определение. Степенью отношения R на множестве A называется его композиция с самим собой.

Обозначение:

Определение . Если R ⊂ A × B , то R º R -1 называется ядром отношения R .

Теорема 3.1. Пусть R ⊂ A × A – отношение, заданное на множестве A .

  1. R рефлексивно тогда и только тогда, (далее используется знак ⇔) когда I ⊂ R.
  2. R симметрично ⇔ R = R -1 .
  3. R транзитивно ⇔ R º R ⊂ R
  4. R антисимметрично ⇔ R ⌒ R -1 ⊂ I .
  5. R антирефлексивно ⇔ R ⌒ I = ∅ .

Задача 3.4 . Пусть R - отношение между множествами {1,2,3} и {1,2,3,4}, заданное перечислением пар: R = {(1,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,4)}. Кроме того, S - отношение между множествами S = {(1,1), (1,2), (2,1), (3,1), (4,2)}. Вычислите R -1 , S -1 и S º R. Проверьте, что (S º R) -1 = R -1 , S -1 .

Решение.
R -1 = {(1,1), (1,3), (3,2), (4,2), (4,3)};
S -1 = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,4)};
S º R = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2)};
(S º R) -1 = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)};
R -1 º S -1 = {(1,1), (1,2), (1,3), (2 ,1), (2,2), (2,3)} = (S º R) -1 .

Задача 3.5 . Пусть R отношение «...родитель...», а S отношение «...брат...» на множестве всех людей. Дайте краткое словесное описание отношениям:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 и R º R.

Решение.

R -1 - отношение«...ребёнок...»;

S -1 - отношение«...брат или сестра...»;

R º S - отношение «...родитель...»;

S -1 º R -1 - отношение «...ребёнок...»

R º R - отношение «...бабушка или дедушка...»

Задачи для самостоятельного решения

1) Пусть R - отношение «...отец...», а S - отношение «...сестра...» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , R º R.

2) Пусть R - отношение «...брат...», а S - отношение «...мать...» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , S º S.

3) Пусть R - отношение «...дед...», а S - отношение «...сын...» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

4) Пусть R - отношение «...дочь...», а S - отношение «...бабушка...» на множе- стве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

5) Пусть R - отношение «...племянница...», а S - отношение «...отец...» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

6) Пусть R - отношение «сестра...», а S - отношение «мать...» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , S º S.

7) Пусть R - отношение «...мать...», а S - отношение «...сестра...» на множе- стве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R -1 , S1, R º S, S1 º R1, S º S.

8) Пусть R - отношение «...сын...», а S - отношение «...дед...» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

9) Пусть R - отношение «...сестра...», а S - отношение «...отец...» на множе- стве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R -1 , S -1 , R º S, S -1 º R -1 , S º S.

10) Пусть R - отношение «...мать...», а S - отношение «...брат...» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R -1 , S -1 , S º R, R -1 º S -1 , R º R.

Связанные определения

Свойства отношений

Бинарные отношения могут обладать различными свойствами, такими как

Виды отношений

  • Рефлексивное транзитивное отношение называется отношением квазипорядка.
  • Рефлексивное симметричное транзитивное отношение называется отношением эквивалентности .
  • Рефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением (частичного) порядка .
  • Антирефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением строгого порядка .
  • Полное антисимметричное (для любых x, y выполняется xRy или yRx) транзитивное отношение называется отношением линейного порядка.
  • Антирефлексивное асимметричное отношение называется отношением доминирования.

Виды двухместных отношений

  • Обратное отношение [уточнить ] (отношение, обратное к R) - это двухместное отношение, состоящее из пар элементов (у, х), полученных перестановкой пар элементов (х, у) данного отношения R. Обозначается: R −1 . Для данного отношения и обратного ему верно равенство: (R −1) −1 = R.
  • Взаимо-обратные отношения (взаимообратные отношения) - отношения, являющиеся обратными друг по отношению к другу. Область значений одного из них служит областью определения другого, а область определения первого - областью значений другого.
  • Рефлексивное отношение - двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличаю­щееся тем, что для любого х этого множества элемент х на­ходится в отношении R к самому себе, то есть для любого элемента х этого множества имеет место xRx. Примеры рефлексивных отношений: равенство , одновременность , сходство.
  • Антирефлексивное отношение (Иррефлексивное отношение, отметим, что также как антисимметричность не совпадает с несимметричностью иррефлексивность не совпадает с нерефлексивностью.) - двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличаю­щееся тем, что для любого элемента х этого множества неверно, что оно находится в отношении R к самому себе (неверно, что xRx), то есть возможен случай, что элемент множества не находится в отно­шении R к самому себе. Примеры нерефлексвных отношений: «заботиться о», «развлекать», «нервировать».
  • Транзитивное отношение - двухместное отношение R, оп­ределенное на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых х, у, z этого множества из xRy и yRz следует xRz (xRy&yRzxRz). Примеры транзитивных отношений: «больше», «меньше», «равно», «подобно», «выше», «севернее».
  • Нетранзитивное отношение [уточнить ] - двухместное отношение R, оп­ределенное на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых х, у, z этого множества из xRy и yRz не следует xRz ((xRy&yRzxRz)). Пример нетранзитивного отношения: «x отец y»
  • Симметричное отношение - двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых элементов х и у этого множества из того, что х находится к у в отношении R (xRy), следует, что и у находится в том же отношении к х (уRx). Примером симметричных отношений могут быть равенство (=), отношение эквивалентности , подобия , одновременности, некоторые отношения родства (например, отношение братства).
  • Антисимметричное отношение - двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых х и у из xRy и xR −1 y следует х = у (то есть R и R −1 выполняются одновременно лишь для равных между собой членов).
  • Асимметричное отношение [уточнить ] - двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых х и у из xRy следует yRx. Пример: отношение «больше» (>) и «меньше» (<).
  • Отношение эквивалентности (отношение тождества [уточнить ] , отношение типа равенства) - двухместное отношение R между предметами х и у в предметной области D, удовлетворяющее следующим аксиомам (условиям): Таким образом, отношение типа равенства является одновременно рефлексивным, симметричным и транзитивным. Примеры: равенство, равномощность двух множеств, обмениваемость товаров на рынке, подобие , одновременность . Пример отношения, которое удовлетворяет аксиоме (3), но не удовлетворяет аксиомам (1) и (2): «больше».
  • Отношения порядка - отношения, обладающие только некоторыми из трёх свойств отношения эквивалентности. В частности, отношение рефлексивное и транзитивное, но несимметричное (например, «не больше») образует «нестрогий» порядок. Отношение транзитивное, но нерефлексивное и несимметричное (например, «меньше») - «строгий» порядок.
  • Функция - двухместное отношение R , определенное на некотором мно­жестве, отличающееся тем, что каждому значению x отно­шения xRy y . Пример: «y отец x ». Свойство функциональности отно­шения R записывается в виде аксиомы: (xRy и xRz )→(y ≡z ). Поскольку каждому значению x в выражениях xRy и xRz соответствует одно и то же значение, то y и z совпадут, окажутся одними и теми же. Функциональное отношение однозначно, поскольку каждому значению x отношения xRy соответствует лишь одно-единственное значение y , но не наоборот.
  • Биекция (одно-однозначное отношение) - двухместное отношение R , определенное на некотором мно­жестве, отличающееся тем, что в нём каждому значению х соответствует единственное значение у , и каждому значению у соответствует единственное значение х . Одно-однозначное отношение является частным случаем однозначного отношения.
  • Связанное отношение - это двухместное отношение R , определённое на некотором множестве, отличающееся тем, что для любых двух различных элементов х и у из этого множества, одно из них находится в отношении R к другому (то есть выполнено одно из двух соотношений: xRy или yRx ). Пример: отношение «меньше» (<).

Операции над отношениями

Так как отношения, заданные на фиксированной паре множеств , , суть подмножества множества , то совокупность всех этих отношений образует булеву алгебру относительно операций объединения, пересечения и дополнения отношений. В частности, для произвольных ,

Часто вместо объединения, пересечения и дополнения отношений говорят об их дизъюнкции, конъюнкции и отрицании.

Например, , , то есть объединение отношения строгого порядка с отношением равенства совпадает с отношением нестрого порядка, а их пересечение пусто.

Кроме перечисленных важное значение имеют ещё операции обращения и умножения отношений, определяемые следующим образом.

Если , то обратным отношением называется отношение , определённое на паре , и состоящее из тех пар , для которых . Например, .

Пусть теперь , . Произведением отношений , называется отношение такое, что

Если , и , то произведение отношений не определено. Если же отношения рассматривать определённые на каком-то множестве , то такой ситуации не возникает.

Например, рассмотрим отношение строгого порядка определённого на множестве натуральных чисел. Несложно заметить, что

Бинарные отношения и называются перестановочными, если . Несложно заметить, что для любого бинарного отношения , определённого на , , где символом обозначено равенство, определённое на . Однако равенство не всегда справедливо.

Имеют место следующие тождества:

Отметим, что аналоги последних двух тождеств для не имеют места.

Некоторые свойства отношения можно определить, используя операции над отношениями:

См. также

Литература

  • А. И. Мальцев. Алгебраические системы. - М .: Наука, 1970.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Бинарное отношение" в других словарях:

    Бинарное отношение - . Иначе: двуместное или двойственное. «Бинарным отношением на множестве X» называется подмножество упорядоченных пар элементов из X. Примерами Б.о. являются равенство (=), неравенства (< или >), отношение включения A Ì B.… … Экономико-математический словарь

    бинарное отношение - Иначе: двуместное или двойственное. «Бинарным отношением на множестве X» называется подмножество упорядоченных пар элементов из X. Примерами Б.о. являются равенство (=), неравенства (), отношение включения A ? B. В широком смысле слова… … Справочник технического переводчика

    Двуместный предикат на заданном множестве. Под Б. о. иногда понимают подмножество множества упорядоченных пар (а, 6) элементов заданного множества А. Б. о. частный случай отношения. Пусть. Если, то говорят, что элемент находится в бинарном… … Математическая энциклопедия

    В логике то, что в отличие от свойства характеризует не отдельный предмет, а пару, тройку и т.д. предметов. Традиционная логика не рассматривала О.; в современной логике О. пропозициональная функция от двух или большего числа переменных. Бинарным … Философская энциклопедия

    отношение - ОТНОШЕНИЕ множество упорядоченных п ок индивидов (где п > 1), т.е. двоек, троек и т.д. Число п называется «местностью», или «арностью», О. и, соответственно, говорят о n местном (п арном) О. Так, например, двуместное О. называют… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки

    В теории потребления это формальное описание способности потребителя сравнивать (упорядочивать по желательности) разные наборы товаров (потребительские наборы). Чтобы описать отношение предпочтения, не обязательно измерять желательность… … Википедия

    У этого термина существуют и другие значения, см. Отношение. Отношение математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Отношения обычно классифицируются по количеству связываемых объектов … Википедия

    У этого термина существуют и другие значения, см. Отношение. Отношение в логике первого порядка двух и более аргументный предикат (многоместный предикат), двух и более предикатное свойство. Знак отношения: R.[уточнить] В терминах отношений… … Википедия

    У этого термина существуют и другие значения, см. Эквивалентность. Отношение эквивалентности () на множестве это бинарное отношение, для которого выполнены следующие условия: Рефлексивность: для любого в, Симметричность: если … Википедия

    Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей. Бинарное отношение на мно … Википедия

электронная книга

Широкий спектр отношений на примере множеств сопровождается большим числом понятий, начиная с их определений и заканчивая аналитическим разбором парадоксов. Разнообразие обсуждаемого в статье понятия на множестве бесконечно. Хотя, когда говорят про двойственные типы, под этим подразумеваются бинарные отношения между несколькими величинами. А также между объектами или высказываниями.

Как правило, бинарные отношения обозначаются символом R, то есть, если xRx для любого значения x из поля R, такое свойство называют рефлексивным, в котором x и х - это принятые объекты мысли, а R служит знаком о том или ином виде взаимосвязи между индивидами. В то же время если выражать xRy® или yRx, то это говорит о состоянии симметрии, где ® - знак импликации, похожий на союз «если..., то...". И, наконец, расшифровка надписи (xRy Ùy Rz) ®xRz расскажет о транзитивной взаимосвязи, причём знак Ù - это конъюнкция.

Бинарное отношение, которое бывает одновременно рефлексивным, симметричным и транзитивным, именуется взаимосвязью эквивалентности. Отношение f - это функция, и из <х, у> Î f и <х, z> Î f вытекает равность y=z. Простая бинарная функция может быть легко применима к двум несложным аргументам, расположенным в определённом порядке, и лишь в данном случае она предоставляет ей значение, направленное этим двум выражениям, взятым в конкретном случае.

Следует говорить, что f отображает x на y,

если f служит функцией с зоной определения x и зоной значений y. Однако когда f экстраполирует x на y, и y Í z, то это приводит к тому, что f показывает x в z. Простой пример: если f(x)=2x справедливо для достоверно любого целого х, то говорят, что f отображает знаковое множество всех известных целых чисел во множество тех же целых, но на этот раз чётных чисел. Как уже упоминалось выше, бинарные отношения, которые одновременно рефлексивны, симметричны и транзитивны, являются взаимосвязями эквивалентности.

Исходя из вышесказанного, взаимосвязи эквивалентности бинарных отношений определяются свойствами:

  • рефлексивности - соотношение (M ~ N);
  • симметричности - если равность M ~ N, то будет N ~ M;
  • транзитивности - если две равности M ~ N и N ~ P, то в результате M ~ P.

Рассмотрим заявленные свойства бинарных отношений подробнее. Рефлексивность - это одна из характеристик некоторых связей, где каждый элемент исследуемого множества пребывает в данной равности сам себе. Например, между числами а=с и а³ с - рефлексивные связи, поскольку всегда а=а, с=с, а³ а, с³ с. В то же время отношение неравенства а>с - антирефлексивно из-за невозможности существования неравенства а>а. Аксиома этого свойства кодируется знаками: aRc® aRa Ù cRc , здесь символ ® означает слово "влечёт" (или "имплицирует"), а знак Ù - выступает союзом "и" (или конъюнкцией). Из этого утверждения следует, что в случае истинности суждения aRc также истинны и выражения aRa и cRc.

Симметричность влечёт за собой наличие отношения и в том случае, если мыслительные объекты поменять местами, то есть при симметричной взаимосвязи перестановка объектов не приводит к трансформации вида "бинарные отношения". Например, связь равенства а=с симметрична по причине эквивалентности отношения с=а; также одинаково и суждение а¹с, так как оно отвечает связи с¹а.

Транзитивное множество - это такое свойство, при котором выполняется следующее требование: у Î х, z Î y ® z Î x, где ® выступает знаком, заменяющим слова: "если..., то...". Вербально читается формула таким образом: «Если у зависит от х, z принадлежит у, то z также зависит от х".

Понятие отношения на множестве

Чтобы определить общее понятие бинарного отношения на множестве, поступим так же, как и в случае с соответствиями,

т.е. рассмотрим сначала конкретный пример. Пусть на множестве X = {2, 4, 6, 8} задано отношение «меньше». Это означает, что для любых двух чисел из множества X можно сказать, какое из них меньше: 2 < 4, 2 < 6, 2 < 8, 4 < 6, 4 < 8, 6 < 8. Полученные неравенства можно записать иначе, в виде упорядоченных пар: (2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 6), (4, 8), (6, 8). Но все эти пары есть элементы декартова произведения X х X, поэтому об отношении «меньше», заданном на множестве X, можно сказать, что оно является подмножеством множества X х X.

Вообще бинарные отношения на множестве X определяют следующим способом:

Определение. Бинарным отношением на множестве X называется всякое подмножество декартова произведения X х X.

Так как в дальнейшем мы будем рассматривать только бинарные отношения, то слово «бинарные», как правило, будем опускать.

Условимся отношения обозначать буквами R, S, Т, Р и др.

Если R - отношения на множестве X, то, согласно определению, R X х X. С другой стороны, если задано некоторое подмножество множества X х X, то оно определяет на множестве X некоторое отношение R.

Утверждение о том, что элементы х и у находятся в отношении R, можно записывать так: (х, у) R или x R y. Последняя запись читается: «Элемент х находится в отношении R с элементом у».

Отношения задают так же, как соответствия. Отношение можно задать, перечислив пары элементов множества X, находящиеся в этом отношении. Формы представления таких пар могут быть различными - они аналогичны формам задания соответствий. Отличия касаются задания отношений при помощи графа.

Построим, например, граф отношений «меньше», заданного на множестве Х= (2, 4, 6, 8}. Для этого элементы множества X изобразим точками (их называют вершинами графа), а отношение «меньше» - стрелкой (рис. 1).

На том же множестве X можно рассмотреть другое отношение - «кратно». Граф этого отношения будет в каждой вершине иметь петлю (стрелку, начало и конец которой совпадают), так как каждое число кратно самому себе (рис. 2).

Отношение можно задать при помощи предложения с двумя переменными. Так, например, заданы рассмотренные выше отношения «меньше» и «кратно», причем использована краткая форма предложений «число х меньше числа у» и «число х кратно числу у». Некоторые такие предложения можно записывать, используя символы. Например, отношения «меньше» и «кратно» можно было задать в таком виде: «х<у», «х у». Отношение «х больше у на 3» можно записать в виде равенства х = у + 3 (или х – у = 3).

Для отношения R, заданного на множестве X, всегда можно задать отношение R -1 , ему обратное, - оно определяется так же, как соответствие, обратное данному. Например, если R - отношение «х меньше у», то обратным ему будет отношение «у больше х».

Понятием отношения, обратного данному, часто пользуются при начальном обучении математике. Например, чтобы предупредить ошибку в выборе действия, с помощью которого решается задача: «У Пети 7 карандашей, что на 2 меньше, чем у Бори. Сколько карандашей у Бори?» - ее переформулируют: «У Пети 7 карандашей, а у Бори на 2 больше. Сколько карандашей у Бори?» Видим, что переформулировка свелась к замене отношения «меньше на 2» обратным ему отношением «больше на 2».

Свойства отношений

Мы установили, что бинарное отношение на множестве X представляет собой множество упорядоченных пар элементов, принадлежащих декартову произведению ХхХ. Это математическая сущность всякого отношения. Но, как и любые другие понятия, отношения обладают свойствами. Их удалось выделить, изучая различные конкретные отношения. Свойств достаточно много, в нашем курсе мы будем изучать только некоторые. Рассмотрим на множестве отрезков, представленных на рис. 3, отношения перпендикулярности, равенства и «длиннее». Построим графы этих отношений (рис. 4) и будем их сравнивать.

Видим, что граф отношения равенства отличается от двух других наличием петель в каждой его вершине. Эти петли - результат того, что отношение равенства отрезков обладает свойством: любой отрезок равен самому себе. Говорят, что отношение равенства обладает свойством рефлексивности или просто, что оно рефлексивно .

Определение. Отношение R на множестве X называется рефлексивным, если о каждом элементе множества X можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой.

R рефлексивно на Х <=> xRx для любого х X

Если отношение R рефлексивно на множестве X, то в каждой вершине графа данного отношения имеется петля. Справедливо и обратное утверждение: граф, каждая вершина которого имеет петлю, задает отношения, обладающие свойством рефлексивности.

Примеры рефлексивных отношений:

Отношение «кратно» на множестве натуральных чисел (каждое натуральное число кратно самому себе);

Отношение подобия треугольников (каждый треугольник подобен самому себе).

Существуют отношения, которые свойством рефлексивности на обладают. Таким, например, является отношение перпендикулярности на множестве отрезков: нет ни одного отрезка, о котором можно сказать, что он перпендикулярен самому себе. Поэтому на графе отношения перпендикулярности (рис. 4) нет ни одной петли. Не обладает свойством рефлексивности и отношение «длиннее» для отрезков.

Обратим теперь внимание на графы отношений перпендикулярности и равенства отрезков. Они «похожи» тем, что если есть одна стрелка, соединяющая пару элементов, то обязательно есть и другая, соединяющая те же элементы, но идущая в противоположном направлении. Эта особенность графа отражает те свойства, которыми обладают отношения параллельности и равенства отрезков:

Если один отрезок перпендикулярен другому отрезку, то этот «другой» перпендикулярен первому;

Если один отрезок равен другому отрезку, то этот «другой» равен первому.

Про отношения перпендикулярности и равенства отрезков говорят, что они обладают свойством симметричности или, просто симметричны.

Определение. Отношение R на множестве X называется симметричным, если выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у, следует, что и элемент у находится в отношении R с элементом х.

Используя символы, это отношение можно записать в таком виде:

R симметрично на X <=> (xRy => yRx)

Граф симметричного отношения обладает особенностью: вместе с каждой стрелкой, идущей от х к у, граф содержит и стрелку, идущую от у к х. Справедливо и обратное утверждение. Граф, содержащий вместе с каждой стрелкой, идущей от х к у, и стрелку, идущую от у к х, является графом симметричного отношения.

В дополнение к рассмотренным двум примерам симметричных отношений присоединим еще такие:

Отношение параллельности на множестве прямых (если прямая х параллельна прямой у, то и прямая у параллельна прямой х);

Отношение подобия треугольников (если треугольник F подобен треугольнику Р, то треугольник Р подобен треугольнику F).

Существуют отношения, которые свойством симметричности не обладают. Таким, например, является отношение «длиннее» на множестве отрезков. Действительно, если отрезок х длиннее отрезка у, то отрезок у не может быть длиннее отрезка х. Про отношения «длиннее» говорят, что оно обладает свойством антисимметричности или просто антисимметрично.

Определение. Отношение R на множестве X называется антисимметричным, если для различных элементов х и у из множества X выполнено условие: из того, что х находится в отношении R с элементом у, следует, что элемент у в отношении R с элементом х не находится .

антисимметрично на X <=> (xRy и х≠у => )

Граф антисимметричного отношения обладает особенностью: если две вершины графа соединены стрелкой, то эта стрелка только одна. Справедливо и обратное утверждение: граф, вершины которого соединены только одной стрелкой, есть граф антисимметричного отношения.

Кроме отношения «длиннее» на множестве отрезков свойством антисимметричности, например, обладают:

Отношение «больше» для чисел (если х больше у, то у не может быть больше х);

Отношение «больше на 2» для чисел (если х больше у на 2, то у не может быть больше на 2 числа х).

Существуют отношения, не обладающие ни свойством симметричности, ни свойством антисимметричности. Рассмотрим, например, отношение «быть сестрой» на множестве детей одной семьи. Пусть в семье трое детей: Катя, Маша и Толя. Тогда граф отношения «быть сестрой» будет таким, как на рисунке 5. Он показывает, что данное отношение не обладает ни свойством симметричности, ни свойством антисимметричности.

Обратим внимание еще раз на одну особенность графа отношения «длиннее» (рис. 4). На нем можно заметить: если стрелки проведены от е к а и от а к с , то есть стрелка от е к с ; если стрелки приведены от е к b и от b к с , то есть стрелка и от е к с и т.д. Эта особенность графа отражает важное свойство отношения «длиннее»: если первый отрезок длиннее второго, а второй - длиннее третьего, то первый - длиннее третьего. Говорят, что это отношение обладает свойством транзитивности или просто транзитивно.

Определение. Отношение R на множестве X называется транзитивным, если выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у и элемент у находится в отношении R с элементом z, следует, что элемент х находится в отношении R с элементом z.

Используя символы, это определение можно записать в таком виде:

R транзитивно на X <=> (xRy и yRz => xRz)

Граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок, идущих от х к у и у к z , содержит стрелку, идущую от х к z . Справедливо и обратное утверждение.

Кроме отношения «длиннее» на множестве отрезков свойством транзитивности обладает отношение равенства: если отрезок х равен отрезку у и отрезок у равен отрезку z , то отрезок х равен отрезку z . Это свойство отражено и на графе отношения равенства (рис. 4)

Существуют отношения, которые свойством транзитивности не обладают. Таким отношением является, например, отношение перпендикулярности: если отрезок а перпендикулярен отрезку d, а отрезок d перпендикулярен отрезку b, то отрезки а и b не перпендикулярны!

Рассмотрим еще одно свойство отношений, которое называют свойством связанности, а отношение, обладающее им, называют связанным.

Определение. Отношение R на множестве X называется связанным, если для любых элементов х и у из множества X выполняется условие: из того, что х и у различны, следует, что либо х находится в отношении R с элементом у, либо элемент у находится в отношении R с элементом х.

Используя символы, это определение можно записать в таком виде:

R связанно на множестве X <=> (х≠у xRy или yRx)

Например, свойством связанности обладают отношения «больше» для натуральных чисел: для любых различных чисел х и у можно утверждать, что либо х> у, либо у > х.

На графе связанного отношения любые две вершины соединены стрелкой. Справедливо и обратное утверждение.

Существуют отношения, которые свойством связанности не обладают. Таким отношением, например, является отношение делимости на множестве натуральных чисел: можно назвать такие числа хну, что ни число х не является делителем числа у, ни число у не является делителем числа х.

Выделенные свойства позволяют анализировать различные отношения с общих позиций - наличия (или отсутствия) у них тех или иных свойств.

Так, если суммировать все сказанное об отношении равенства, заданном на множестве отрезков (рис. 4), то получается, что оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Отношение «длиннее» на том же множестве отрезков антисимметрично и транзитивно, а отношение перпендикулярности-симметрично, но оно не обладает свойствами рефлексивности и транзитивности. Все эти отношения на заданном множестве

отрезков связанными не являются.

Задача 1. Сформулировать свойства отношения R, заданного при помощи графа (рис. 6).

Решение. Отношение R- антисимметрично, так как вершины графа соединяются только одной стрелкой.

Отношение R - транзитивно, так как с парой стрелок, идущих от b к а и от а к с , на графе есть стрелка, идущая от b к с .

Отношение R - связанно, так как любые две вершины соединены стрелкой.

Отношение R свойством рефлексивности не обладает, так как на графе есть вершины, в которых петли нет.

Задача 2. Сформулировать свойства отношения «больше в 2 раза», заданного на множестве натуральных чисел.

Решение. «Больше в 2 раза» - это краткая форма отношения «число х больше числа у в 2 раза». Это отношение антисимметрично, так как выполняется условие: из того, что число х больше числа у в 2 раза, следует, что число у не больше числа х в 2 раза.

Данное отношение не обладает свойством рефлексивности, потому что ни про одно число нельзя сказать, что оно больше самого себя в 2 раза.

Заданное отношение не транзитивно, так как из того, что число х больше числа у на 2, а число у больше числа z на 2, следует, что число х не может быть больше числа z на 2.

Это отношение на множестве натуральных чисел свойством связанности не обладает, так как существуют пары таких чисел х и у, что ни число не больше числа у в два раза, ни число у не больше х в 2 раза. Например, это числа 7 и 3,5 и 8 и др.

Систематизация свойств.

Каждое бинарное (двухместное) отношение характеризуется свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Полное или частичное отсутствие этих свойств в отношении отражается в их наименовании приставками соответственно "анти " и "не ". Определённым сочетаниям этих базовых свойств даны свои специальные наименования; например, антисимметричное и антирефлексивное отношение называется асимметричным.

Свойство рефлексивности рассматривается для одного элемента множества.

Отношение называется рефлексивным , если для любого предмета из области его определения имеет место это отношение предмета к самому себе. Отношение ровесник, определенное на области пар людей, рефлексивно, потому что любой человек ровесник самого себя.

Если отношение имеет место не для любой такой пары, то оно называется не рефлексивным . Нерефлексивно отношение любит , определенное на области пар людей, так как не все люди любят себя.

Если отношение не имеет места ни для одной такой пары, то отношение называется анти рефлексивным . Отношение больше, определённое на области пар материальных предметов, антирефлексивно, поскольку ни один предмет не больше самого себя.

Свойство симметричности рассматривается для двух разных элементов множества.

Отношение называется симметричным , когда для любых пар предметов из области его определения верно, что, когда это отношение x и y , то оно имеет место и в паре (y,x) . Отношение ровесник симметрично, так как для любых двух людей верно, что, если первый ровесник второго, то и второй ровесник первого.

Отношение называется не симметричным , если оно верно не для любых двух предметов из области определения. Несимметрично отношение любит , поскольку не для любых двух людей верно, что если первый любит второго, то второй любит первого.

Отношение называется анти симметричным , если в области определения отношения не существует пар указанного вида, для которых это верно. Отношение больше антисимметрично, потому что ни для каких предметов не может быть так, что первый предмет больше второго, а второй больше первого.

Свойство транзитивности рассматривается для трёх разных элементов множества.

Отношение называется транзитивным , если оно обязательно имеет место для пары  (x,z) при условии его наличия в парах (x,y) и (y,z) . Отношение ровесник транзитивно, так как для любых трёх людей, если один человек ровесник другого, а тот ровесник третьего, первый непременно является ровесником третьего.

Отношение называется не транзитивным , если это верно не для любыхпредметов из области определения отношения. Нетранзитивно отношение любит , потому что неверно, что оно имеет место в паре (x,z) всегда, когда оно наличествует в парах (x,y) и (y,z), т. е. не обязательно, чтобы первый человек любил третьего, когда первый любит второго, а второй любит третьего.

Отношение называется ан титранзитивным , если в области определения отношения не существует таких предметов, для которых это было бы верно. Антитранзитивно отношение отец , потому что не найдется таких трёх пар указанного вида, чтобы это отношение имело место во всех трёх. Никогда не может быть так, что первый человек - отец второго, второй - отец третьего, и при этом первый - отец третьего.

Определения.

  • Определение . Отношение ρ называется рефлексивным , если каждый элемент x∈A находится в этом отношении сам с собой: xρx для всех x∈A . На языке кванторов: ∀ x∈A: xρx
  • Определение. Отношение ρ называется симметричным , если из того, что xρy следует, что yρx: ∀x,y∈A: xρy⟹ yρx
  • Определение. Отношение ρ называется транзитивным , если из того, что xρy и yρz , следует, что xρz : ∀x,y,z∈A: (xρy ∧ yρz) ⟹ xρz
    • не рефлексивным , если: ¬∀ x∈A: xρx
    • не симметричным , если: ¬∀x,y∈A: xρy⟹ yρx
    • не транзитивным , если: ¬∀x,y∈A: (xρy∧ yρz)⟹ xρz
      • анти рефлексивным (иррефлексивным), если: ∀x∈A: ¬(xρx)
      • анти симметричным , если: ∀x,y∈A : (xρy⟹ yρx) ⟹ x=y
      • анти транзитивным , если: ∀x,y,z∈A: (xρy∧ yρz) ⟹ ¬(xρz)
  • Определение. Бинарное отношение на некотором множестве называют эквивалентностью (отношением эквивалентности), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.