3.4. Механическая энергия
3.4.1. Кинетическая энергия
Кинетическая энергия поступательного движения тела определяется формулой
где m - масса движущегося тела; v - модуль его скорости.
Для расчета кинетической энергии при поступательном движении тела существует еще одна формула:
где P = mv - модуль импульса движущегося тела.
Кинетическая энергия вращательного движения тела определяется формулой
W k = m ω 2 R 2 2 ,
где m - масса движущегося тела; ω - величина угловой скорости (циклическая частота); R - радиус окружности, по которой движется тело.
Для расчета кинетической энергии при вращательном движении тела существует еще одна формула:
W k = 2 m π 2 ν 2 R 2 ,
где ν - частота вращения тела.
При решении задач на расчет кинетической энергии системы тел полезно помнить, что она складывается из кинетических энергий каждого из тел:
W k сис = W k 1 + W k 2 + ... + W k N ,
где W k 1 , W k 2 , ..., W kN - кинетические энергии каждого тела.
При решении задач на расчет кинетической энергии вращательного движения могут оказаться полезными следующие формулы:
- связь между линейной v и угловой ω скоростями:
v = ωR ,
где R - радиус окружности по которой движется тело;
- связь между циклической частотой ω и частотой ν:
- связь между циклической частотой ω (или частотой ν) и периодом обращения тела по окружности T :
ωT = 2π или ν = 1 T .
Пример 24. Координата тела, движущегося вдоль оси Ox , зависит от времени по закону x (t ) = 8,0 − 2,0t + t 2 , где координата задана в метрах, время - в секундах. Определить изменение кинетической энергии тела с начала третьей до конца четвертой секунды движения. Масса тела составляет 3,0 кг.
Решение. Кинетическая энергия тела определяется формулами:
W k 1 = m v 2 (t 1) 2 ;
W k 2 = m v 2 (t 2) 2 ,
где v (t 1) - модуль скорости тела в начале третьей секунды; v (t 2) - модуль скорости тела в конце четвертой секунды.
Уравнение движения тела
x (t) = 8,0 − 2,0 t + t 2
позволяет установить закон изменения проекции скорости на ось Ox с течением времени в виде:
v x (t) = v 0 x + a x t ,
где v 0 x = −2,0 м/с - проекция начальной скорости на ось Ox ; a x = = 2,0 м/с 2 - проекция ускорения на указанную ось.
Таким образом, зависимость проекции скорости от времени, записанная в явном виде
v x (t) = − 2,0 + 2,0 t ,
позволяет получить соответствующие проекции скоростей:
- в начале третьей секунды движения (t 1 = 2 c)
v x (t 1) = − 2,0 + 2,0 t 1 = − 2,0 + 2,0 ⋅ 2 = 2,0 м/с;
- в конце четвертой секунды движения (t 2 = 4 c)
v x (t 2) = − 2,0 + 2,0 t 2 = − 2,0 + 2,0 ⋅ 4 = 6,0 м/с.
Значения кинетической энергии тела в указанные моменты времени:
- в начале третьей секунды движения (t 1 = 2 c)
W k 1 = 3,0 ⋅ (2,0) 2 2 = 6,0 Дж,
- в конце четвертой секунды движения (t 2 = 4 c)
W k 2 = 3,0 ⋅ (6,0) 2 2 = 54 Дж.
Искомая разность кинетических энергий составляет
Δ W k = W k 2 − W k 1 = 54 − 6,0 = 48 Дж.
Таким образом, кинетическая энергия тела за указанный интервал времени возросла на 48 Дж.
Пример 25. Тело движется в плоскости xOy по траектории вида x 2 + y 2 = 25 под действием центростремительной силы, величина которой равна 50 Н. Масса тела составляет 2,0 кг. Координаты x и y заданы в метрах. Найти кинетическую энергию тела.
Решение. Траектория движения тела представляет собой окружность радиусом 5,0 м. Согласно условию задачи, на тело действует только одна сила, направленная к центру этой окружности.
Модуль указанной силы является постоянной величиной, поэтому тело обладает постоянным центростремительным ускорением, не влияющим на величину скорости тела; следовательно, тело движется по окружности с постоянной скоростью.
Рисунок иллюстрирует данное обстоятельство.
Величина центростремительной силы определяется формулой
F ц. с = m v 2 R ,
где m - масса тела; v - модуль скорости тела; R - радиус окружности, по которой движется тело.
Выражение для кинетической энергии тела имеет вид:
Отношение уравнений
F ц. с W k = m v 2 R 2 m v 2 = 2 R
позволяет получить формулу для расчета искомой кинетической энергии:
Кинетической энергией системы называется скалярная величина Т, равная сумме кинетических энергий всех точек системы.
Кинетическая энергия является характеристикой и поступательного, и вращательного движений системы. Главное отличие величины Т от введенных ранее характеристик Q и Ко состоит в том, что кинетическая энергия является величиной скалярной и притом существенно положительной. Поэтому она не зависит от направлений движения частей системы и не характеризует изменений этих направлений.
Отметим еще следующее важное обстоятельство. Внутренние силы действуют на части системы по взаимно противоположным направлениям. По этой причине они, как мы видели, не изменяют векторных характеристик . Но если под действием внутренних сил будут изменяться модули скоростей точек системы, то при этом будет изменяться и величина Т.
Следовательно, кинетическая энергия системы отличается от величин и тем, что на ее изменение влияет действие и внешних, и внутренних сил.
Если система состоит из нескольких тел, то ее кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий этих тел.
Найдем формулы для вычисления кинетической энергии тела в разных случаях движения.
1. Поступательное движение. В этом случае все точки тела движутся с одинаковыми скоростями, равными скорости центра масс. Следовательно, для любой точки и формула (41) дает
Таким образом, кинетическая энергия тела при поступательном движении равна половине произведения массы тела на квадрат скорости центра масс.
2. Вращательное движение. Если тело вращается вокруг какой-нибудь оси (см. рис. 295), то скорость любой его точки где - расстояние точки от оси вращения, а - угловая скорость тела. Подставляя это значение в формулу (41) и вынося общие множители за скобки, получим
Величина, стоящая в скобках, представляет собой момент инерции тела относительно оси . Таким образом, окончательно найдем
т. е. кинетическая энергия тела при вращательном движении равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.
3. Плоскопараллельное движение. При этом движении скорости всех точек тела в каждый момент времени распределены так, как если бы тело вращалось вокруг оси, перпендикулярной плоскости движения и проходящей через мгновенный центр скоростей Р (рис. 303). Следовательно, по формуле (43)
где - момент инерции тела относительно названной выше оси; - угловая скорость тела.
Величина в формуле (43) будет переменной, так как положение центра Р при движении тела все время меняется. Введем вместо постоянный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс С тела. По теореме Гюйгенса (см. § 103) , где . Подставим это выражение для в (43).
Учитывая, что точка Р - мгновенный центр скоростей и, следовательно, , где - скорость центра масс С, окончательно найдем
Следовательно, при плоскопараллельном движении кинетическая энергия тела равна энергии поступательного движения со скоростью центра масс, сложенной с кинетической энергией вращательного движения вокруг центра масс.
4. Общий случай движения. Если выбрать центр масс С тела в качестве полюса (рис. 304), то движение тела в общем случае будет слагаться из поступательного со скоростью полюса и вращательного вокруг мгновенной оси СР, проходящей через этот полюс (см. § 63). При этом, как показано в § 63, скорость любой точки тела слагается из скорости полюса и скорости, которую точка получает при вращении тела вокруг полюса (вокруг оси СР) и которую мы обозначим При этом по модулю где - расстояние точки от оси СР, а - угловая скорость тела, которая (см. § 63) не зависит от выбора полюса. Тогда
Подставляя это значение в равенство (41) и учитывая, что найдем
где общие множители сразу вынесены за скобки.
В полученном равенстве первая скобка дает массу М тела, а вторая равна моменту инерции тела относительно мгновенной оси СР.
Величина же , так как она представляет собой количество движения, получаемое телом при его вращении вокруг оси СР, проходящей через центр масс тела (см. § 110).
В результате окончательно получим
Таким образом, кинетическая энергия тела в общем случае движения (в частности, и при плоскопараллельном движении) равна кинетической энергии поступательного движения со скоростью центра масс, сложенной с кинетической энергией вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс.
Если за полюс взять не центр масс С, а какую-нибудь другую точку А тела и мгновенная ось АР при этом не будет все время проходить через центр масс, то для этой оси и формулы вида (45) мы не получим.
Рассмотрим примеры.
Задача 136. Вычислить кинетическую энергию катящегося без скольжения сплошного цилиндрического колеса массой М, если скорость его центра равна (см. рис. 308, а).
Решение Колесо совершает плоскопараллелыюе движение. По формуле (44) или (45)
Считаем колесо сплошным однородным цилиндром; тогда (см. § 102) , где R - радиус колеса. С другой стороны, так как точка В является для колеса мгновенным центром скоростей, то откуда Подставляя все эти значения, найдем
Задача 137. В детали А, движущейся поступательно со скоростью имеются направляющие, по которым со скоростью v перемещается тело В массой . Зная угол а (рис. 305), определить кинетическую энергию тела В.
Потенциальная и кинетическая энергия позволяют охарактеризовать состояние любого тела. Если первая применяется в системах взаимодействующих объектов, то вторая связана с их движением. Эти виды энергии, как правило, рассматриваются тогда, когда сила, связывающая тела, независима от траектории движения. При этом важны только начальное и конечное их положения.
Общие сведения и понятия
Кинетическая энергия системы является одной из важнейших ее характеристик. Физики выделяют два вида такой энергии в зависимости от вида движения:
Поступательная;
Вращения.
Кинетическая энергия (Е к) представляет собой разность между полной энергией системы и энергией покоя. Исходя из этого, можно сказать, что она обусловлена движением системы. Тело имеет ее только тогда, когда оно движется. В состоянии покоя объекта она равняется нулю. Кинетическая энергия любых тел зависит исключительно от скорости движения и их масс. Полная энергия системы находится в прямой зависимости от скорости ее объектов и расстояния между ними.
Основные формулы
В том случае, когда любая сила (F) действует на тело, находящееся в покое так, что оно приходит в движение, можно говорить о совершении работы dA. При этом величина этой энергии dE будет тем выше, чем больше совершается работы. В этом случае верно такое равенство: dA = dE.
С учетом пути, пройденного телом (dR) и его скорости (dU), можно воспользоваться 2 законом Ньютона, исходя из которого: F = (dU/dE)*m.
Вышеуказанный закон используется только тогда, когда имеется инерциальная система отсчета. Существует еще один важный нюанс, учитываемый при расчетах. На значение энергии влияет выбор системы. Так, согласно системе СИ, она измеряется в джоулях (Дж). Кинетическая энергия тела характеризуется массой m, а также скоростью перемещения υ. В этом случае она составит: E k = ((υ*υ)*m)/2.
Исходя из вышеуказанной формулы, можно сделать вывод, что кинетическую энергию определяют массой и скоростью. Иными словами, она представляет собой функцию движения тела.
Энергия в механической системе
Кинетическая энергия представляет собой энергию механической системы. Она зависит от скорости движения ее точек. Данная энергия любой материальной точки представляется такой формулой: E = 1/2mυ 2, где m - масса точки, а υ - ее скорость.
Кинетическая энергия механической системы являет собой арифметическую сумму таких же энергий всех ее точек. Ее также можно выразить следующей формулой: E k = 1/2Mυ c2 + Ec, где υc — скорость центра масс, М - масса системы, Ec - кинетическая энергия системы при движении вокруг центра масс.
Энергия твердого тела
Кинетическая энергия тела, которое движется поступательно, определяется как и такая же энергия точки с массой, равной массе всего тела. Для расчета показателей при перемещении применяются более сложные формулы. Изменение этой энергии системы в момент ее перемещения из одного положения в другое происходит под воздействием приложенных внутренних и внешних сил. Оно равняется сумме работ Aue и A"u данных сил при этом перемещении: E2 - E1 = ∑u Aue + ∑u A"u.
Данное равенство отражает теорему, касающуюся изменения кинетической энергии. С ее помощью решаются самые разные задачи механики. Без этой формулы невозможно решить целый ряд важнейших задач.
Кинетическая энергия при высоких скоростях
Если скорости тела близки к скорости света, кинетическую энергию материальной точки можно рассчитать по следующей формуле:
E = m0c2/√1-υ2/c2 - m0c2,
где с - скорость света в вакууме, m0 - масса точки, m0с2 - энергия точки. При маленькой скорости (υ Во время вращения тела вокруг оси каждый его элементарный объем массой (mi) описывает окружность радиусом ri. В этот момент объем имеет линейную скорость υi. Поскольку рассматривается твердое тело, угловая скорость вращения всех объемов будет одинакова: ω = υ1/r1 = υ2/r2 = … = υn/rn (1). Кинетическая энергия вращения твердого тела представляет собой сумму всех таких же энергий его элементарных объемов: E = m1υ1 2/2 + miυi 2/2 + … + mnυn 2/2 (2). При использовании выражения (1), получаем формулу: E = Jz ω 2/2, где Jz - это момент инерции тела вокруг оси Z. При сравнении всех формул становится ясно, что момент инерции - это и есть мера инертности тела во время вращательного движения. Формула (2) подходит для объектов, вращающихся относительно неподвижной оси. Кинетическая энергия тела, движущегося вниз по плоскости, складывается из энергии вращения и поступательного движения: E = mυc2/2 + Jz ω 2/2, где m - масса движущегося тела, Jz - момент инерции тела вокруг оси, υc - скорость центра масс, ω - угловая скорость. Изменение значения кинетической энергии тесно связано с потенциальной. Суть этого явления можно понять благодаря закону сохранения энергии в системе. Сумма E + dP во время перемещения тела всегда будет одинаковой. Изменение значения E всегда происходит одновременно с изменением dP. Таким образом, они преобразуются, словно перетекая друг в друга. Такое явление можно встретить практически во всех механических системах. Потенциальная и кинетическая энергии тесно связаны между собой. Их сумму можно представить как полную энергию системы. На молекулярном уровне - это внутренняя энергия тела. Она присутствует постоянно, пока существует хотя бы какое-то взаимодействие между телами и тепловое движение. Для проведения вычисления значения энергии выбирают произвольный момент (его считают начальным) и систему отсчета. Определить точную величину потенциальной энергии возможно только в зоне воздействия сил, которые не зависят от траектории движения тела при совершении работы. В физике данные силы называют консервативными. Они имеют постоянную связь с законом сохранения энергии. Если внешнее воздействие минимально или сводится к нулю, изучаемая система всегда будет тяготеть к состоянию, в котором ее потенциальная энергия также будет стремиться к нулю. Например, подброшенный вверх мячик достигнет предела этой энергии в верхней точке траектории движения и в тот же момент начнет падать вниз. В это время накопленная в полете энергия преобразуется в движение (выполняемую работу). Для потенциальной энергии в любом случае существует взаимодействие как минимум двух тел (в примере с мячиком гравитация планеты оказывает на него влияние). Кинетическую энергию можно рассчитать индивидуально для любого движущегося тела. Потенциальная и кинетическая энергия изменяются исключительно при взаимодействии тел, когда действующая на тела сила совершает работу, значение которой отлично от нуля. В замкнутой системе работа силы тяготения или упругости равняется изменению потенциальной энергии объектов со знаком «-»: A = - (Ep2 - Ep1). Работа силы тяготения или упругости равняется изменению энергии: A = Ek2 - Ek1. Из сравнения обоих равенств ясно, что изменение энергии объектов в замкнутой системе равняется изменению потенциальной энергии и противоположно ему по знаку: Ek2 - Ek1 = - (Ep2 - Ep1), или иначе: Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2. Из указанного равенства видно, что сумма этих двух энергий тел в замкнутой механической системе и взаимодействующих силами упругости и тяготения, всегда остается постоянной. Исходя из вышеизложенного, можно сделать вывод о том, что в процессе изучения механической системы следует рассматривать взаимодействие потенциальной и кинетической энергий. Кинетическая энергия - скалярная физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости.
Что бы понять, что же такое кинетическая энергия тела, рассмотрим случай, когда тело массой m под действием постоянной силы (F=const) движется прямолинейно равноускоренно (а=const). Определим работу силы, приложенной к телу, при изменении модуля скорости этого тела от v1 до v2.
Как мы знаем, работа постоянной силы вычисляют по формуле . Так как в рассматриваемом нами случае направление силы F и перемещения s совпадают, то , и тогда у нас получается, что работа силы равна А=Fs. По второму закону Ньютона найдем силу F=ma. Для прямолинейного равноускоренного движения справедлива формула:
Из это формулы мы выражаем перемещение тела:
Подставляем найденные значения F и S в формулу работы, и получаем:
Из последней формулы видно, что работа силы, приложенной к телу, при изменении скорости этого тела равна разности двух значений некоторой величины . А механическая работа это и есть мера изменения энергии. Следовательно, в правой части формулы стоит разность двух значений энергии данного тела. Это значит, что величина представляет собой энергию, обусловленную движением тела. Эту энергию называют кинетической. Она обозначается Wк.
Если взять выведенную нами формулу работы, то у нас получится
Работа, совершаемая силой при изменении скорости тела, равна изменению кинетической энергии этого тела
Так же есть: Потенциальная энергия: В формуле мы использовали: Кинетическая энергия Масса тела Скорость движения тела
Энергия при вращении системы
Плоское движение тела
Изменение энергии в механической системе
Взаимосвязь энергий
Выбор системы отсчета
Суть разницы между потенциальной и кинетической энергией
Взаимосвязь разных энергий
